Com base na Teoria Clássica de Laminados e empregando o método da energia potencial total (Rayleigh-Ritz), determinou-se o autovalor crítico de flambagem de uma placa de material composto, considerada em condição de apoio simples e submetida a um carregamento biaxial de 100 N/mm aplicado em suas faces carregadas.
Inicialmente, foram adotadas as propriedades mecânicas de uma lâmina de material composto à temperatura ambiente, considerando-se a orientação na direção de 0°. Para a análise, foi assumido um módulo de elasticidade longitudinal (E₁) igual a 150 GPa e um módulo de elasticidade transversal (E₂) de 30,5 GPa, ambos em regime de compressão. O coeficiente de Poisson (ν₁₂) foi considerado igual a 0,31, enquanto o módulo de cisalhamento no plano (G₁₂) foi estabelecido em 28,5 GPa sob compressão.
Para determinar as matrizes [A], [B] e [D] do revestimento (skin) foi utilizada a formulação apresentada na sequência. Inicialmente foram determinados os coeficientes da matriz de compliance [S];
Podendo a matriz de compliance ser expressa da seguinte forma;
Para determinar a matriz de rigidez constitutiva do compósito faz-se necessário realizar o cálculo da inversa da matriz de compliance:
Com base na matriz global das propriedades do laminado e na distância entre cada lâmina, são determinadas as matrizes [A], [B] e [D] conforme apresentado no equacionamento a seguir.
A energia interna referente à rigidez da placa, considerado o caso mais geral (o qual engloba todos os acoplamentos entre os esforços), pode ser obtida conforme mostra o equacionamento a seguir.
Na energia interna referente à rigidez da placa foram desconsiderados os efeitos referentes aos esforços de torção e axiais, visto que os mesmos são pouco expressivos em relação à flexão. Logo, a energia de deformação (considerando somente os efeitos advindos da flexão) pode ser expressa conforme apresentado na sequência.
Seguindo o método de Rayleigh-Ritz para flexão pura, é adotada uma equação de forma para o campo de deslocamento que satisfaça as condições de contorno do problema. Foi adotada uma função de interpolação trigonométrica.
Com a equação definida, faz-se necessário calcular as suas derivadas para obter o vetor linha de curvatura.
A energia de deformação de uma placa pode ser expressa pela equação a seguir, que depende da matriz [D] do compósito.
O potencial de forças externas atuando ao longo do eixo X pode ser expresso pela equação a seguir.
O potencial de forças externas atuando ao longo do eixo Y pode ser expresso pela equação a seguir.
O potencial de forças externas atuando em cisalhamento pode ser expresso pela equação a seguir.
Sendo o potencial total descrito como a soma da energia interna da placa de composto somada ao potencial das forças externas atuantes, tem-se.
π = U + V
Que pode ser descrita da seguinte forma.
Sabendo que o sistema está em equilíbrio e aplicando o princípio variacional para solucionar o equacionamento. Em uma outra forma de apresentar a equação, temos um problema abaixo em que o autovalor representa a carga crítica do sistema.
Na sequência obtêm-se o mapa de deslocamento de toda placa juntamente com o respectivo autovalor crítico de flambagem apresentado na sequência.
Campo de deslocamento e respectivo autovalor de flambagem (Método númerico)
Com o objetivo de validar os resultados obtidos numericamente, realizou-se uma análise de flambagem por meio de um software comercial baseado no método dos elementos finitos.
Inicialmente, foram aplicadas as condições de contorno naturais correspondentes aos carregamentos. Foi imposta uma carga de compressão de 100 N/mm em duas arestas perpendiculares. Ressalta-se que, para garantir uma distribuição uniforme da carga de compressão ao longo de toda a placa, os nós situados nas extremidades dessas arestas devem receber metade do valor atribuído aos nós localizados na região interna. Dessa forma, assegura-se que a tensão seja uniformemente distribuída por todos os elementos do modelo
Condição de contorno naturais (Carregamento)
Dando sequência, foram definidas condições de contorno essenciais de modo a representar as quatro faces do painel na condição de apoio simples. Para impedir o deslocamento vertical da placa, restringiu-se a translação na direção z em todas as bordas. Além disso, as arestas livres de carregamento tiveram sua translação na direção y bloqueada, a fim de simular a compressão aplicada em ambos os lados da placa. Para evitar o movimento de corpo rígido, todos os graus de liberdade de um dos nós de canto foram fixados. Dessa forma, estabeleceuse a configuração das condições de contorno essenciais da placa.
Condição de contorno essencial (Restrições)
Assim, ao realizar a análise de flambagem utilizando um software comercial de elementos finitos, obteve-se um autovalor crítico de flambagem igual a λ = 1,49. Esse resultado confirma a coerência e a precisão do método numérico adotado para a determinação do autovalor crítico de flambagem em painéis compostos submetidos a condições de contorno simplesmente apoiadas e carregamento biaxial uniforme. Ressalta-se que a consistência entre os resultados numéricos e a teoria demonstra a confiabilidade do modelo de discretização, das condições de contorno impostas e da formulação empregada no cálculo dos modos de instabilidade.
