O método dos elementos finitos tem sido utilizado como uma ferramenta de análise estrutural para determinação de deslocamentos esforços. Com objetivo de proporcionar uma modelagem do sistema, transformando-o em um número finito de elementos mais simplificados a serem solucionados, obtendo uma aproximação para o sistema completo resultante dos vários elementos agrupados.
A metodologia de cálculo para o método dos elementos finitos baseia-se no método da rigidez direta. Utilizando-se da equação constitutiva, que pode ser interpretada como o equilíbrio das forças nodais externas atuando na estrutura, sendo igual ao produto da rigidez da estrutura pelos deslocamentos nodais.
A determinação da matriz de rigidez do elemento beam, é obtida conhecendo cada um dos coeficientes de rigidez da mesma. Assim, considerando um elemento dispondo de dois nós em suas extremidades, cada um dos seus nós possui seis graus de liberdade, sendo três de translação e três de rotação. Portanto resultando em doze graus de liberdade na matriz de rigidez do elemento beam.
Estando o elemento beam sob a ação simultânea de esforços axiais, torção, cortante e flexão nos planos perpendiculares atuante nos eixos principais centrais, faz-se, então, fundamental obter os coeficientes de rigidez decorrente de tais esforços para o elemento.
Só então, por meio da matriz de rotação, realiza-se a transformação dos eixos locais para globais de um dado elemento. Por fim, por meio do mapeamento é realizada a montagem da matriz de rigidez da estrutura através das matrizes de rigidez de seus respectivos elementos constituintes.
A formulação para se obter os coeficientes de rigidez advinda da flexão se baseia na imposição de uma rotação unitária em um dos graus de liberdade referente à flexão, sendo mantidos todos os demais graus de liberdade impedidos. As forças que surgem nos graus de liberdade são os próprios coeficientes de rigidez procurados, considerando a convenção de sinais para os sentidos convencionados positivos das forças e de deslocamento nodais.
Deve-se atentar que o coeficiente de grau Ki,j da matriz de rigidez da barra possui uma força no grau de liberdade i devido ao deslocamento unitário imposto no grau de liberdade j, enquanto todos os demais graus de liberdade permanecem bloqueados. De modo similar os demais esforços. Sendo estes: axiais, cortante e torço, geram seus respectivos coeficientes na matriz de rigidez do elemento beam.
Determinação dos coeficientes de rigidez
A formulação da matriz de rigidez de um elemento beam pode ser entendida como a combinação de quatro comportamentos estruturais distintos, que, embora independentes, contribuem conjuntamente para a rigidez total do elemento: rigidez axial, rigidez à torção, rigidez ao cisalhamento e rigidez à flexão nos planos xz e xy.
Matriz de rigidez do elemento beam
Após a determinação da matriz de rigidez do elemento no sistema de coordenadas locais, o mesmo deve ser rotacionado para conversão da matriz de rigidez local para o sistema de eixos globais. Para isso, faz-se necessário determinar a matriz de rotação do elemento. Afim de se obter a matriz de rotação de eixos nas coordenadas locais para globais, deve-se realizar a decomposição do sistema local (x, y, z) para o global (x’, y’, z’).
Decomposição dos eixos para determinar matriz de rotação.
As somas algébricas dos componentes das forças globais F1, F2 e F3 nas direções dos eixos locais x, y e z, respectivamente. Da mesma forma, as forças e os momentos locais na extremidade da barra podem ser expressos em termos de forças e momentos globais pelas seguintes relações.
De modo que obtem-se a matriz de rotação do sistema local para o sistema global do elemento.
Matriz de transformação
Sendo assim para se determinar a matriz de rigidez nas coordenadas globais, é necessário realizar a multiplicação da transposta da matriz de rotação, pela matriz de rigidez nas coordenadas locais, pela matriz de rotação K=T'kT. A multiplicação deve ser realizada seguindo esta mesma ordem, tendo em vista que as matrizes não são comutativas.
Possuindo a matriz de rigidez nas coordenadas globais de um único elemento, todo o procedimento deve também ser realizado para todos os demais elementos. Só então com todas as matrizes de rigidez globais dos elementos constituintes do pórtico, devem-se condensar todas estas em uma única matriz de rigidez, que será declarada como sendo a matriz de rigidez global da estrutura.
Entretanto ressalta-se que esta justaposição das matrizes dos elementos para gerar a matriz da estrutura não ocorre simplesmente pela soma dos índices comuns das matizes de cada elemento. Esta determinação advém do processo de mapeamento da estrutura.
Inicialmente para determinar o grau de liberdade (GL) da estrutura, o pórtico tem todos os seus graus de liberdade numerados sequencialmente em cada um dos seus nós, desconsiderando-se apenas os graus que são impedidos (bloqueados), tal como pelos apoios ou travamentos quaisquer ao longo da estrutura.
O procedimento para se obter a matriz da estrutura, se dá por intermédio do mapeamento da mesma, por via de seus elementos, nós e graus de liberdade. Em que os elementos de barra têm seus graus de liberdades não impedidos contabilizados no formato sequencial, considerando-se o sistema global, ou seja, a sua respectiva posição na estrutura.
A partir disso é realizado o emparelhamento dos valores de cada elemento considerado a sua posição na estrutura (sistema global) e também considerando o elemento de barra de forma isolada (sistema local). Por conseguinte cada coeficiente da matriz do elemento é locado na respectiva posição da matriz de rigidez da estrutura, respeitando-se as limitações da matriz.
Deve se atentar que em alguns casos existe a superposição de valores, portanto deve se somar os coeficientes da matriz de rigidez dos elementos que possuem os índices comuns na matriz de rigidez da estrutura.
Esquematização do procedimento de mapeamento da estrutura
Para se obter a matriz dos deslocamentos nodais na estrutura decorrente das forças aplicadas na mesma, resolve-se a equação a seguir descobrindo se assim os deslocamentos da estrutura. Vale ressaltar que por se tratar de um sistema matricial e não unicamente uma equação linear, se faz necessário utilizar de métodos de resolução de sistemas de equações lineares para resolver a equação constitutiva, para tal foi utilizado o método de Cholesky.
Para fins de comparação segue a descrição do exemplo realizado para validação do algoritmo. Um arranjo estrutural composto por elementos dispostos de modo a simular um pavimento simples. Foram posicionados quatro elementos na vertical, estando todos engastados na cota inferior, representando os pilares que possuíam três metros de comprimento.
Os elementos se encontram igualmente afastados entre si com uma distância de cinco metros. O mesmo arranjo possui quatro elementos de barras na horizontal conectados nos elementos anteriores, resultando em um pórtico tridimensional.
Abaixo são apresentados os dados para a montagem do arranjo esquemático da estrutura de pórtico, onde é possível obter as informações referentes às coordenadas (x, y, z) em cada um dos nós, bem como a vinculação dos graus de liberdade referente aos nós em questão.
Montagem do arranjo estrutural do pórtico tridimensional
Relativo às propriedades geométricas da seção transversal dos elementos constituintes do pórtico, foi convencionado uma seção circular de diâmetro igual a 45cm para todos os elementos.
As propriedades estipuladas de material também foram padronizadas para todos os elementos de barra, sendo o módulo de elasticidade igual a 38 GPa. Logo, a elasticidade ao cisalhamento foi igual a 15,2 GPa. Os dados referentes às propriedades geométricas e de material do pórtico tridimensional do exemplo podem ser observados na sequência.
Caracterização das propriedades geométricas e de material com sua respectiva locação nos elementos do pórtico
Por fim, para concluir a caracterização da estrutura de pórtico tridimensional em análise, é necessário especificar o tipo de carregamento, sua localização de aplicação e a respectiva intensidade. Foram aplicadas cargas nodais de (-40 kN, 20 kN, 60 kN) atuantes nos nós 1 e 6, enquanto nos nós 2 e 4 foram aplicadas cargas nodais de (40 kN, 80 kN, 120 kN) e momentos de (5 kNm, 10 kNm, 15 kNm). O modelo descrito pode ser visualizado conforme a modelagem desenvolvida no software comercial.
Modelagem do pórtico tridimensional no software comercial
Após a realização da modelagem e do processamento de dados, segue a apresentação e comparação dos resultados, a partir do modelo implementado. Foram coletados os outputs em ambos os programas e comparados. A seguir, os resultados das reações de apoio na estrutura são apresentados. A esquerda é apresentado o resultado obtido através do software comercial, enquanto ao lado direito é apresentado o resultado do algoritmo desenvolvido usando MEF.
Comparação dos resultados das reações de apoio na estrutura.
De forma análoga foram comparados os deslocamentos nodais da estrutura nos graus de liberdade (nós) sem restrição. Na sequência é apresentado os deslocamentos no algoritmo desenvolvido utilizando o método dos elementos finitos.
Deslocamentos nodais na estrutura (Modelo FEM)
Na sequência são apresentados os resultados dos deslocamentos nodais na estrutura, obtidos através do software comercial de elemento finitos.
Deslocamentos nodais na estrutura (software comercial)
Portanto, com base na comparação dos resultados obtidos pelo algoritmo do MEF em relação aos de um software comercial, valida-se a implementação do método dos elementos finitos para a análise de estruturas de pórtico.